해당 포스팅은 프리드버그의 선형대수학 (5판) 을 보고 공부하며 개인적인 용도를 위해 정리한 글이다.
벡터 (vector)
- 크기와 방향을 모두 가진 물리량.
- 흔히 화살표로 표현하며 벡터의 크기는 화살표의 길이, 방향은 화살표의 방향으로 표현한다.
- 어디에 위치해있는지와 관계 없이 크기와 방향이 같으면 동일한 벡터로 간주.
벡터의 합 (sum)
- 두 물리량이 함께 적용할 때 물리량의 크기 뿐 아니라 방향을 함께 고려해야 함.
- 두 물리량이 결합 될 때 나타내는 효과는 두 벡터를 결합시켜 얻은 합성벡터로 나타낼 수 있음.
- 합성벡터는 벡터의 합이라고 하며, 두 벡터를 결합시키는 규칙을 벡터 합의 평행사변형 법칙 (pararelleogram law)라고한다.
평행사변형의 법칙 (pararelleogram law)
- 시점이 $P$ 로 일치하는 두 벡터 $x, y$의 합은 점 $P$ 에서 시작하는 벡터이고, 이는 $x$와 $y$ 를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타낸다.
- 평행사변형의 대변은 평행하고 길이가 같으므로 벡터 $x + y$의 종점 $Q$는 점 $P$에서 시작하는 벡터 $x$의 종점에 벡터 $y$의 시점을 이어붙여 도달한 것으로 이해할 수 있다.
- 같은 방식으로 벡터 $y$의 종점에 벡터 $x$의 시점을 이어붙여도 종점 $Q$에 도달할 수 있다.
- 점 $P$에 작용한 두 벡터를 합할 때는 한 벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 이어붙이는 방식으로 더한다.
- $x, y$ 중 어느 것을 먼저 택하고, 어느 것을 처음 벡터의 종점에 이어붙일지 그 순서는 중요하지 않다.
스칼라의 곱 (scalar multiplication)
- 벡터에 실수를 곱해 벡터의 크기를 확대하거나 축소할 수 있다.
- $0$이 아닌 실수 $t$에 대하여 벡터 $tx$의 방향은 $t > 0$일 때, $x$의 방향과 같고, $t < 0$ 일 때 $x$의 방향과 $180^{\circ}$ 반대이다.
벡터의 평행 (pararell)
- 영이 아닌 두 벡터 $x, y$에 대하여 $y = tx$인 0이 아닌 실수 $t$가 존재할 때, 두 벡터는 평행하다.
- 방향이 같거나 $180^{/circ}$ 반대인 벡터들은 평행하다.
벡터의 합과 스칼라곱의 대수적인 설명
- 모든 벡터 $x, y$에 대하여 $x + y = y + x$이다.
- 모든 벡터 $x, y, z$ 에대하여 $(x + y) + z = x + (y + z)$이다.
- 모든 벡터 $x$ 에 대하여 $x + 0 = x$ 를 만족하는 벡터 $0$ 이 존재한다.
- 각 벡터 $x$마다 $x + y = 0$를 만족하는 벡터 $y$가 존재한다.
- 모든 벡터 $x$에 대하여 $1x = x$이다.
- 모든 실수 $a, b$와 모든 벡터 $x$ 에 대하여 $(ab)x = a(bx)$이다.
- 모든 실수 $a$와 모든 벡터 $x, y$에 대하여 $a(x + y) = ax + ay$이다.
- 모든 실수 $a, b$와 모든 벡터 $x$에 대하여 $(a + b)x = ax + bx$이다.
직선의 방정식
- 두 점 $A, B$를 이은 직선 위 임의의 점은 $A$를 시점으로 하는 벡터의 종점이고, 적절한 실수 $t$에 대하여 $tw$이 형태로 표현할 수 있다.
- 반대로 $A$를 시점으로 하는 벡터 $tw$의 종점은 두 점 $A, B$를 지나는 직선 위의 점이다.
- 두 점 $A, B$를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.
- $x = u + tw = u + t(v - u)$
평면의 방정식
- 한 직선 위에 있지 않은 세 점 $A, B, C$ 가 존재한다.
- 시점이 $A$이고 종점이 $B, C$인 두 벡터를 각각 $u, v$라고 가정.
- 세 점 $A, B, C$로 이루어진 평면 위 임의의 점 $S$는 $A$를 시점으로하고, $su + tv$의 형태인 벡터 $x$의 종점.
- 벡터 $su$의 종점은 직선 $AB$와 점 $S$를 지나고 직선 $AC$와 평행한 직선의 교점.
- 같은 방식으로 벡터 $tv$의 종점도 알 수 있다.
- 세 점 $A, B, C$를 포함하는 평면의 방정식은 다음과 같다.
- $x = A + su + tv$