선형대수 (2)

벡터와 좌표계

평면벡터

• $R^{2}$에서 크기 (스칼라, 변화량) 와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현도구
• 평면에서 특정 벡터가 존재할 때, 벡터의 시점과 종점은 중요하지 않다
• 원점 $O$와 점 $A(a_{1}, a_{2})$, $B(b_{1}, b_{2})$가 있을 때, 원점에서 시작하는 벡터 $\vec{OA}$ 와 $\vec{OB}$ 로 표현한다

공간벡터

• $R^{3}$에서 크기와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현도구
• 평면 ($x, y$) 에서 $z$ 성분이 추가 되었다고 생각하면 편하다

n차원 벡터

• $R^{n}$ 상의 벡터 $v = (v_1, v_2, \cdots, v_n) = \vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, \cdots, b_n - a_n)$
• 영벡터: $0$, $O$, $\vec{O}$ 로 표현하며 모든 성분의 값이 $0$인 벡터를 의미
  • $v = (0, 0, \cdots, 0)$
• 두 벡터간 동일한 위치의 성분들의 값이 일차한다면 두 벡터는 같다고 표현한다
  • $v = (v_1, v_2, \cdots, v_n), w = (w_1, w_2, \cdots, w_n) \rightarrow v_1 = w_1, v_2 = w_2, \cdots, v_n = w_n$

벡터의 연산

• 벡터 간 덧셈과 뺄셈은 각 성분간의 연산으로 이루어진다
  • $\vec{v}$와 $\vec{w}$가 있을 때, $v + w = (v_1 + w_1, v_2 + w_2, \cdots, v_n + w_n), v - w = (v_1 - w_1, v_2 - w_2, \cdots, v_n - w_n)$
• 벡터의 실수배는 각 성분에 실수를 연산시키면 된다

노름 (Norm)

• 벡터의 크기 혹은 길이라고 하지만, n차원으로 확장되면서 단순 길이로 표현하기는 힘들다
• $\lVert v \rVert = \sqrt{v_1^2, v_2^2, \cdots, v_n^2}$
• 노름이 $1$인 벡터를 단위벡터라고 하며, 어떤 벡터를 단위벡터로 만드는 행위를 정규화라고 한다
  • $\frac{v}{\lVert v \rVert} = \hat{v}$
• $e_1 = (1, 0, 0, \cdots, 0), e_2 = (0, 1, 0, \cdots, 0)$ 등을 표준단위벡터라고 말한다
  • 벡터 $\vec{v}$가 있을 때, $\vec{v} = (v_1e_1 + v_2e_2 + \cdots + v_ne_n) = (v_1, 0, 0, \cdots, 0), (0, v_2, 0, \cdots, 0), \cdots, (0, 0, 0, \cdots, v_n)$으로 표현 가능하다

선형결합 (Linear Combination)

• $R^n$의 벡터 $w$가 임의의 실수 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 에 대하여 $w = k_1v_1 + k_2v_2 + \cdots + k_nv_n$ 의 형태로 쓰여진다면 $w$ 를 $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 의 선형 결합이라고 한다

스칼라곱

• 두 벡터간의 곱셈 중 크기에 대해서만 연산한다
• 한 벡터가 다른 벡터의 방향에 대해 가한 힘에 의해 변화 된 스칼라 혹은 크기를 의미한다
• 점곱 (dot product), 내적 (inner product) 라고 한다
• $v \cdot w = \lVert v \rVert \lVert w \rVert \cos\theta = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$ ($\theta$는 $v, w$의 끼인각이다)

벡터곱

• $R^3$ 상에서 방향은 두 벡터에 동시에 수직이고 크기는 두 벡터의 평행사변형 면적인 벡터
• 가위곱 (cross product) 라고 한다
• \(v \times w = \begin{pmatrix} \left\vert \begin{matrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \end{matrix} \right\vert, -\left\vert\begin{matrix} v_1 & v_3 \\ w_1 & w_3 \end{matrix}\right\vert, \left\vert\begin{matrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \end{matrix}\right\vert\end{pmatrix}\) 이며, 두 벡터를 하나의 행렬로 만든 후 행렬식으로 연산할 수도 있다

벡터의 응용

직선의 표현

• $R^2$ 또는 $R^3$ 에서 위치벡터가 $\alpha$ 인 점 $A$ 를 지나며 방향벡터가 $v$ 인 직선상의 임의의 점 $X$ 의 위치벡터 $x$
• $x = a + kv$ (단, $k$ 는 임의의 실수)
• 위치벡터: 시점이 원점인 벡터
• 방향벡터: 직선이 늘어나는 방향을 지시하는 벡터

평면의 표현

• $R^3$ 에서 위치벡터 $\alpha$ 인 점 $A$ 를 지나며 법선벡터가 $v$ 인 평면상의 임의의 점 $X$ 의 위치벡터 $x$
• $(x - a) \cdot v = 0$
• 법선벡터: 평면에 수직인 벡터를 의미하며 평면상의 서로 다른 두 직선의 방향벡터들의 벡토 곱으로써 구하면 용이하다